No.7 常微分方程

$$
y'=f(x)\ 两端同时积分，可分离变量的微分方程。\
\frac=f(x)\cdot g(y)\ 转换为\ \frac{g(y)}=f(x)dx.然后两端积分。\
例题：y'=y\
\frac=y\ ,\ \frac=dx\ ,\ \int\frac{1}dy=\int dx\
ln\ |\ y\ |=x+C_1\
|\ y\ |=e^{{x+C1}\
y=C\cdot e}x\
$$

齐次方程

$$
\frac{dx=f(\frac)}\ \ ,令\ u=\frac,y=ux\ \ ,y'=u'x+u\
u'x+u=f(u)\ ,\ u'x=f(u)-u\
\frac\cdot x=f(u)-u\
\frac{f(u)-u}=\frac{1}dx\ ,\ （下一步两端积分）\
u=F(x)+C_1\
因为y=u\cdot x,所以y=x(F(x)+C_1).
$$

一阶线性微分方程

$$
形如\frac+P(x)y=Q(x)\
当Q(x)=0,上方程称为齐次方程.\
当Q(x)\not=0,上方程称为非齐次的.\
解法\ 齐次方程的通解为\ y=Ce^{{-\int P(x)dx}.\
非齐次方程的通解为\ y=e}{-\int P(x)dx}[\int Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx}dx+C].
$$

二阶常系数齐次线性微分方程

$$
形如：y''+py'+qy=0\
都为\textbf{二阶常系数齐次线性微分方程}\
写出特征方程\ r^2+pr+q=0\ 解出特征根。\
$$

$$
\left{
\begin
\triangle&\geq0\ ,\ y=C_1e^+C_2e\
\triangle&=0\ ,\ y=C_1e^+C_2xe\
\triangle&\leq0\ ,\ r_1r_2=\alpha+\beta i ,\ y=e^{\alpha x}(A\cos \beta x+B \sin\beta x)\
\end
\right.
$$